Bijektive Funktion

Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der Begriff eineindeutig bzw. substantivisch entsprechend Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre. Er bezeichnet eine spezielle Eigenschaft von Abbildungen und Funktionen. Bijektive Abbildungen und Funktionen nennt man auch Bijektionen. Die zu einer mathematischen Struktur auftretenden Bijektionen haben oft eigene Namen wie Isomorphismus, Diffeomorphismus, Homöomorphismus, Spiegelung oder Ähnliches. Hier sind dann in der Regel noch zusätzliche Forderungen in Hinblick auf die Erhaltung der jeweils betrachteten Struktur zu erfüllen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmengen und Zielmengen stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge dieselbe Mächtigkeit, im Falle endlicher Mengen also gleich viele Elemente.

Die Bijektion einer Menge auf sich selbst heißt auch Permutation. Auch hier gibt es in mathematischen Strukturen vielfach eigene Namen. Hat die Bijektion darüber hinausgehend strukturerhaltende Eigenschaften, spricht man von einem Automorphismus.

Eine Bijektion zwischen zwei Mengen wird manchmal auch eine bijektive Korrespondenz genannt.^[1][2]

1. ↑ Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie. Springer, 1981, ISBN 3-540-10603-0, hier S. 94 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Juni 2017]). 
2. ↑ Gernot Stroth: Algebra: Einführung in die Galoistheorie. de Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-015534-6, hier S. 100 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 7. Juni 2017]).